Question

如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．

（1）求證：；

（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動（當矩形的邊PQ到達A點時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

考點：

相似形綜合題．

分析：

（1）由相似三角形，列出比例關(guān)系式，即可證明；

（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達式，然后利用二次函數(shù)求其最大面積；

（3）本問是運動型問題，要點是弄清矩形EFPQ的運動過程：

（I）當0≤t≤2時，如答圖①所示，此時重疊部分是一個矩形和一個梯形；

（II）當2＜t≤4時，如答圖②所示，此時重疊部分是一個三角形．

解答：

（1）證明：∵矩形EFPQ，

∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，

∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，

∴．

（2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．

∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴，

∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，

∴，即，∴EH=4HF，

已知EF=x，則EH=x．

∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x．

S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4﹣x）=﹣x²+4x=﹣（x﹣）²+5，

∴當x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．

（3）解：由（2）可知，當矩形EFPQ的面積最大時，矩形的長為，寬為4﹣×=2．

在矩形EFPQ沿射線AD的運動過程中：

（I）當0≤t≤2時，如答圖①所示．

設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD分別交于點H₁，D₁．

此時DD₁=t，H₁D₁=2，

∴HD₁=HD﹣DD₁=2﹣t，HH₁=H₁D₁﹣HD₁=t，AH₁=AH﹣HH₁=2﹣t，．

∵KN∥EF，∴，即，得KN=（2﹣t）．

S=S_梯形KNFE+S_矩形EFP1Q1=（KN+EF）•HH₁+EF•EQ₁

= [（2﹣t）+]×t+（2﹣t）

=t²+5；

（II）當2＜t≤4時，如答圖②所示．

設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD交于點D₂．

此時DD₂=t，AD₂=AD﹣DD₂=4﹣t，

∵KN∥EF，∴，即，得KN=5﹣t．

S=S_△AKN=KN•AD₂

=（5﹣t）（4﹣t）

=t²﹣5t+10．

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

S=．

點評：

本題是運動型相似三角形壓軸題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的表達式與最值、矩形、等腰直角三角形等多個知識點，涉及考點較多，有一定的難度．難點在于第（3）問，弄清矩形的運動過程是解題的關(guān)鍵．