Question

在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點．
（1）若MP⊥NQ，MP、NQ是否相等？
（2）若MP=NQ，MP、NQ是否互相垂直？

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）作PG⊥AB于G，QH⊥BC于H，可通過證明△PGM≌△QHN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）通過作輔助線，找到與MP相等但不垂直MP的Q'N′，即可求解．

解答：證明：如圖，作PG⊥AB于G，QH⊥BC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵PG⊥AB，
∴四邊形BCPG是矩形，
∴PG=BC，
同理QH=AB，
∴PG=QH，
由題意可知MP⊥NQ，
∴∠NQH=∠MPG，
在△NQH與△MPG中，

∠NQH=∠MPG PG=QH ∠QHN=∠PGM

，
∴△NQH≌△MPG（ASA），
∴MP=NQ；

（2）如圖，在AD上找一個點Q'，使AQ'=DQ，在BC上找一個點N'，使CN'=AQ'，連接Q'N′，
易證QN=Q'N′，
作MP⊥NQ，
由上題可知MP=NQ=Q'N′，
但MP和Q'N′不互相垂直，
故MP、NQ不一定互相垂直．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．