Question

【傾聽理解】（這是習(xí)題講評課上師生圍繞一道習(xí)題的對話片斷）
如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
師：當(dāng)BD=1時，同學(xué)們能求哪些量呢？
生1：求BC、OD的長．
生2：求

BC

、

AC

的長．
…
師：正確！老師還想追問的是：去掉“BD=1”，大家能提出怎樣的問題呢？
生3：求證：DE的長為定值．
生4：連接AB，求△ABC面積的最大值．
…
師：你們設(shè)計的問題真精彩，解法也很好！
【一起參與】
（1）求“生2”的問題：“當(dāng)BD=1時，求

BC

、

AC

的長”；
（2）選擇“生3”或“生4”提出的一個問題，并給出解答．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連OC，當(dāng)BD=1時，根據(jù)OD⊥BC可知BC=2BD=2，故△OBC是等邊三角形，再根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論；
（2）生3的問題：連結(jié)AB，在Rt△AOB中，直接根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出DE的長；生4的問題：當(dāng)點C弧AB的中點時，△ABC面積的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式得出結(jié)論即可．

解答：解：（1）連OC，當(dāng)BD=1時，
∵OD⊥BC
∴BC=2BD=2，
∴△OBC是等邊三角形．
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=30°，
∴

BC

=

60

360

•4π=

2

3

π．
∴

AC

=

30

360

•4π=

1

3

π；

（2）生3的問題：連結(jié)AB，在Rt△AOB中，AB=2

2

，
∴DE=

1

2

AB=

2

．
生4的問題：當(dāng)點C弧AB的中點時，△ABC面積的最大值，
此時最大值為2

2

-2．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到弧長公式及等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．