Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點，交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸于H，過點C作CF⊥l于F．

（1）求拋物線解析式；
（2）如圖2，當點F恰好在拋物線上時，求線段OD的長；

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線解析式為y= x2+ x+3

（2）

解：如圖2，∵點F恰好在拋物線上，C（0，3），

∴F的縱坐標為3，

把y=3代入y= x2+ x+3得，3= x2+ x+3；

解得x=0或x=4，

∴F（4，3）

∴OH=4，

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠EDH=90°，

∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=3，

∴OD=4﹣3=1；

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；（2）根據(jù)C的縱坐標求得F的坐標，然后通過△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的長；（3）①先確定C、D、E、F四點共圓，根據(jù)圓周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于tan∠ECF= = = ，即可求得tan∠FDE= ； ②連接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，過D點作DG1∥CE，交直線l于G1 ， 過D點作DG2⊥CE，交直線l于G2 ， 則∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直線CE的解析式為y=﹣ x+3，即可設出直線DG1的解析式為y=﹣ x+m，直線DG2的解析式為y=2x+n，把D的坐標代入即可求得m、n，從而求得解析式，進而求得G的坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．