Question

18．如圖，在邊長為4cm的圓內(nèi)接正方形ABCD中，AC是對角線，M為邊BC的中點(diǎn)，延長AM交圓于點(diǎn)E．
（1）求證：△AMC∽△BME；
（2）求BE的長．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)∠EBC=∠EAC，∠BME=∠AMC可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由M為邊BC的中點(diǎn)得出BM的長，由勾股定理求出AM的長，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：在△AMC和△BME中，
∵∠EBC=∠EAC，∠BME=∠AMC，
∴△AMC∽△BME；

（2）解：∵正方形ABCD的邊長為4cm，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵M(jìn)為邊BC的中點(diǎn)，
∴BM=2
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵△AMC∽△BME
∴$\frac{BE}{BM}$=$\frac{AC}{AM}$，
∴BE=$\frac{4\sqrt{2}×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$cm．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．