Question

如圖，PC為⊙O的切線，PM平分∠CPA，交CA、CB于E、F
（1）求證：∠PCE=∠B；
（2）若CE、CF為方程x²+（m-2）+m+1=0的兩根，求CE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）作直徑CN，連接AN，根據(jù)圓周角定理求出∠B=∠N，∠NAC=90°，根據(jù)切線性質(zhì)得出∠PCN=90°，即可得出答案；
（2）求出CF=CE，根據(jù)根的判別式求出m的值，得出一元二次方程，求出方程的解即可．

解答：（1）證明：作直徑CN，連接AN，
則∠B=∠N，∠NAC=90°，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCN=90°，
∴∠PCA+∠ACN=90°，∠N+∠ACN=90°，
∴∠PCA=∠N=∠B；

（2）解：∵PM平分∠CPB，
∴∠CPM=∠BPM，
∵∠CPM+∠PCA=∠CEF，∠BPM+∠B=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∵CE、CF為方程x²+（m-2）+m+1=0的兩根，
∴△=（m-2）²-4（m+1）=0，
解得：m=0或8，
即方程為①x²-2x+1=0，x²+6x+9=0，
解方程①得：x₁=x₂=1；
解方程②得：x₃=x₄═-3（舍去）；
即CE=1．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，一元二次方程的根的判別式，解一元二次方程，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．