Question

某小飲料廠生產(chǎn)甲、乙兩種飲料，每種飲料的成本和利潤率如表所示．若兩種飲料每天共生產(chǎn)500瓶，需投入總成本y元．設(shè)每天生產(chǎn)甲種飲料x瓶．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果該廠每天投入的總成本不超過1800元，則至少要安排生產(chǎn)甲種飲料多少瓶？
（3）若該廠希望每天的利潤率不低于25%，且使投入的總成本最低，應(yīng)如何安排生產(chǎn)？此時最低成本為多少元？

Answer 1

解：（1）∵兩種飲料每天共生產(chǎn)500瓶，每天生產(chǎn)甲種飲料x瓶，
∴每天生產(chǎn)乙種飲料（500-x）瓶，
根據(jù)題意得：y=3x+5（500-x）=-2x+2500；
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+2500；

（2）∵該廠每天投入的總成本不超過1800元，
∴-2x+2500≤1800，
∴x≥350，
∴少要安排生產(chǎn)甲種飲料350瓶；

（3）根據(jù)題意得：3x×20%+5（500-x）×37%≥（-2x+2500）×25%，
解得：x≤400，
由（1）投入的總成本為y=-2x+2500，
∵k=-2＜0，
∴y隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=400時，y最小，y=-2×400+2500=1700，
∴每天生產(chǎn)甲種飲料400瓶，每天生產(chǎn)乙種飲料100瓶時，總成本最低，此時最低成本為1700元．
分析：（1）由兩種飲料每天共生產(chǎn)500瓶，每天生產(chǎn)甲種飲料x瓶，即可得每天生產(chǎn)乙種飲料（500-x）瓶，然后根據(jù)題意即可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=3x+5（500-x），化簡即可求得答案；
（2）由該廠每天投入的總成本不超過1800元，可得不等式-2x+2500≤1800，解此不等式即可求得答案；
（3）根據(jù)題意即可得不等式：3x×20%+5（500-x）×37%≥（-2x+2500）×25%，解此不等式即可得到x的取值范圍，又由（1）中一次函數(shù)的增減性問題，即可求得答案．
點評：此題考查了一次函數(shù)與不等式的實際應(yīng)用問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式與不等式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解．