Question

16．如圖，A，B兩點的坐標(biāo)分別是（8，0），（0，6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A做勻速直線運(yùn)動，速度為每秒3個單位長度，同時，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點）方向向點O做勻速直線運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動時間為t（0＜t＜$\frac{10}{3}$）秒，解答如下問題：設(shè)△AQP的面積為S個平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 過點P作過點P作PD⊥x軸于點D，構(gòu)造平行線PD∥BO，由線段比例關(guān)系$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{OB}$求得PD，依據(jù)三角形的面積公式可求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值．

解答 解：如圖所示：過點P作PD⊥x軸于點D．

在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10．
∵PD⊥x軸，OB⊥x軸，
∴OB∥PD．
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{OB}$，即$\frac{10-3t}{10}=\frac{PD}{6}$．
∴PD=6-$\frac{9}{5}$t．
由三角形的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$AQ•PD=$\frac{1}{2}$•2t•（6-$\frac{9}{5}$t）=6t-$\frac{9}{5}$t²．
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{9}{5}$t²+6t．
∴S=-$\frac{9}{5}$（t-$\frac{5}{3}$）²+5．
∴當(dāng)t=$\frac{5}{3}$s時，S有最大值，最大值為5（平方單位）．

點評 本題主要考查的是動點問題的函數(shù)圖象、配方法求二次函數(shù)的最值，求得PD的長度是解題的關(guān)鍵．