(2013•鄧州市一模)已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(14,0)和C(0,-8),對稱軸為x=4.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC,若動點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動,同時另一動點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動,問是否存在某一時刻,使線段PQ被直線CD垂直平分?若存在,請求出此時的時間t(秒)和點(diǎn)Q的運(yùn)動速度;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的結(jié)論下,直線x=1上是否存在點(diǎn)M使△MPQ為等腰三角形?若存在,請求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)由題意拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(14,0)和C(0,-8),對稱軸為x=4,根據(jù)待定系數(shù)法可以求得該拋物線的解析式;
(2)假設(shè)存在,設(shè)出時間t,則根據(jù)線段PQ被直線CD垂直平分,再由垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理來求解t,看t是否存在;
(3)假設(shè)直線x=1上是存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰三角形,此時要分兩種情況討論:①當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且P為頂點(diǎn);②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且Q為頂點(diǎn);然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理求出M點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線過C(0,-8),
∴c=-8,即y=ax2+bx-8,
由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(14,0)及對稱軸為x=4可得
-
b
2a
=4
196a+14b-8=0
,
解得:
a=
2
21
b=-
16
21

∴該拋物線的解析式為y=
2
21
x2-
16
21
x-8.
(2)

存在直線CD垂直平分PQ.
由函數(shù)解析式為y=
2
21
x2-
16
21
x-8,可求出點(diǎn)A坐標(biāo)為(-6,0),
在Rt△AOC中,AC=
AO2+OC2
=
100
=10=AD,
故可得OD=AD-OA=4,點(diǎn)D在函數(shù)的對稱軸上,
∵線CD垂直平分PQ,
∴∠PDC=∠QDC,PD=DQ,
由AD=AC可得,∠PDC=∠ACD,
∴∠QDC=∠ACD,
∴DQ∥AC,
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD,
∴點(diǎn)D是AB中點(diǎn),
∴DQ為△ABC的中位線,
∴DQ=
1
2
AC=5,
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5,
∴t=5÷1=5(秒),
∴存在t=5(秒)時,線段PQ被直線CD垂直平分.
在Rt△BOC中,BC=
OC2+OB2
=
82+142
=2
65
,
而DQ為△ABC的中位線,Q是BC中點(diǎn),
∴CQ=
65

∴點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒
65
5
單位長度;
(3)存在,過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H,則QH=
1
2
OC=4,PH=OP+OH=1+7=8,

在Rt△PQH中,PQ=
42+82
=
80
=4
5
,
①當(dāng)MP=MQ,即M為頂點(diǎn),則此時CD與PQ的交點(diǎn)即是M點(diǎn)(上面已經(jīng)證明CD垂直平分PQ),
設(shè)直線CD的直線方程為:y=kx+b(k≠0),
因為點(diǎn)C(0,-8),點(diǎn)D(4,0),
所以可得直線CD的解析式為:y=2x-8,
當(dāng)x=1時,y=-6,
∴M1(1,-6);
②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且P為頂點(diǎn).
設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M(1,y),因為點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,0),
從而可得PM2=22+y2
又PQ2=80,
則22+y2=80,
即y=±
76

∴M2(1,2
19
),M3(1,-2
19
);
③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且Q為頂點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(7,-4),
設(shè)直線x=1存在點(diǎn)M(1,y),
則QM2=62+(y+4)2=80,
解得:y=2
11
-4或-2
11
-4;
∴M4(1,-4+2
11
),M5(1,-4-2
11
);
綜上所述:存在這樣的五點(diǎn):
M1(1,-6),M2(1,2
19
),M3(1,-2
19
)M4(1,-4+2
11
),M5(1,-4-2
11
).
點(diǎn)評:此題是一道綜合題,難度較大,主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,還考查等腰三角形的性質(zhì),同時還讓學(xué)生探究存在性問題,對待問題要思考全面,學(xué)會分類討論的思想.
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10
10
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25
25
秒;
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矩形
矩形
;
②若PN=3PM,求t的值;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動時,是否存在PQ=DC?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

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