Question

如圖，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，設(shè)△OCD的面積為S，且。

（1）求b的值；

（2）求證：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；

（3）求證：。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）把直線解析式化為，代入得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，從而點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上。

（3）首先根據(jù)勾股定理和逆定理證明△OAB是直角三角形，從而得到△AEO∽△OFB，得比例式即可得證。

【解析】

分析：（1）由直線與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，求出OC，OD，從而根據(jù)已知列式求解即可。

（2）把直線解析式化為，代入得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，從而點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上。

（3）首先根據(jù)勾股定理和逆定理證明△OAB是直角三角形，從而得到△AEO∽△OFB，得比例式即可得證。

解：（1）∵直線與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，

∴令x=0，得；令y=0，得。∴OC=，OD=。

∴△OCD的面積。

∵，∴，解得。

∵ ，∴。

（2）證明：由（1），直線解析式為，即，代入，得，

整理，得。

∵直線與拋物線相交于A，B，

∴，是方程的兩個(gè)根。

∴根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得。

∴點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上。

（3）證明：由勾股定理，得，

由（2）得。

同理，將代入，

得，即，

∴。

∴。

又，∴。

∴△OAB是直角三角形，即∠AOB=90⁰。

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵∠AOB=90⁰，

∴∠AOE=90⁰-∠BOF=∠OBF。

又∵∠AEO =∠OFB=90⁰，

∴△AEO∽△OFB�！�。

∵OE=，BF=，∴。

∴。