Question

3．如圖，△ABC是正三角形，把△ABC繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，邊AB′交BC于點(diǎn)D，邊B′C′交BC于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)F，其中AB=6
（1）指出圖中的旋轉(zhuǎn)角（寫出一個即可）；
（2）判斷△ABC′的形狀，并求出BC′的長度．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的定義即可得出結(jié)果；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAB′=∠CAC′=30°，AC′=AC，由正三角形的性質(zhì)得出∠BAC=60°，AB=AC=6，得出AB=AC′=6，∠BAC′=90°，由勾股定理求出BC′的長度即可．

解答 （1）解：由題意得：圖中的旋轉(zhuǎn)角為∠BAB′；
（2）解：△ABC′是等腰直角三角形；理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAB′=∠CAC′=30°，AC′=AC，
∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=6，
∴∠B′AC=60°-30°=30°，AB=AC′=6，
∴∠BAC′=90°，
即△ABC′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BC′=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
即BC′的長度為6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、勾股定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．