Question

11．△ABC中，AB=AC=5．
（1）如圖1，若sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，求S_△ABC；
（2）若BC=AC，延長BC到D，使CD=BC，點M為BC上一點，連接AM并延長到P，使∠APD=∠B，延長AC交PD于N，連接MN．
①如圖2，求證：AM=MN；
②如圖3，當(dāng)PC⊥BC時，則CN的長為5$\sqrt{3}$-5（直接寫結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）作AB邊上的高CD，根據(jù)三角函數(shù)可求得CD，則可求得△ABC的面積；
（2）①過N作NH⊥MD于H點，可證明△ABM≌△DCN，再結(jié)合△ABC為等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)可求得△MND為等腰三角形，可證得結(jié)論；
②作輔助線構(gòu)建直角三角形，在30°的直角△CNH中設(shè)CH=x，表示出DH、GM，并利用平行線，得出比例式，求出PC的長，再利用同角三角函數(shù)值列等式，求出x的值，則CN=2x=5$\sqrt{3}$-5．

解答 解：（1）如圖1，作高CD，由AB=AC=5，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，得高CD=4，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×4=10；
（2）①如圖2，過N作NH⊥MD于H點，
∵AB=AC，BC=AC，BC=CD，
∴AB=CD，△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠NCD，
∴∠NCD=∠B=60°，
∵∠AND=∠APD+∠PAN，
∠AMB=∠ACB+∠PAN，
又∵∠APD=∠B=∠ACB，
∴∠CND=∠AMB，
∴△ABM≌△DCN，
則BM=CN，AM=DN，
在Rt△CNH中，∠CNH=90°-60°=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CN，又CD=$\frac{1}{2}$BD，
CD-CH=$\frac{1}{2}$（BD-CN）═$\frac{1}{2}$（BD-BM），
即DH=$\frac{1}{2}$DM，
所以MN=DN=AM；
②如圖3，過A作AG⊥BD，過N作NH⊥BD，垂足分別為G、H，
則BG=$\frac{5}{2}$，AG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)CH=x，則CN=2x，BM=2x，DH=5-x，NH=$\sqrt{3}$x，
∵NH∥PC，
∴$\frac{DH}{CD}=\frac{NH}{PC}$，
∴$\frac{5-x}{5}=\frac{\sqrt{3}x}{PC}$，PC=$\frac{5\sqrt{3}x}{5-x}$，
∵tan∠AMB=$\frac{AG}{GM}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{2x-\frac{5}{2}}$，tan∠PMC=$\frac{PC}{MC}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}x}{5-x}}{5-2x}$，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{2x-\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}x}{5-x}}{5-2x}$，
∴2x²+10x-25=0，
x₁=$\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$，x₂=$\frac{-5-5\sqrt{3}}{2}$（舍去），
∴CN=2x=5$\sqrt{3}$-5．
故答案為：5$\sqrt{3}$-5．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形、直角三角形的性質(zhì)，如果利用勾股定理或三角函數(shù)都能求邊長，兩者選其一，還是三角函數(shù)的計算要簡單一些；此題又把幾何與方程結(jié)合在一起，利用比例式和三角函數(shù)列出方程求解．