Question

如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c．
（1）求線段BG的長；
（2）求證：DG平分∠EDF；
（3）連接CG，如圖2，若△BDG與△DFG相似，求證：BG⊥CG．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△BDG與四邊形ACDG的周長相等與BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=BG=（AB+AC）；
（2）由點(diǎn)D、F分別是BC、AB的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；
（3）由△BDG與△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易證得DG=BD=CD，可得B、G、C三點(diǎn)在以BC為直徑的圓周上，由圓周角定理，即可得BG⊥CG．
解答：（1）解：∵△BDG與四邊形ACDG的周長相等，
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴BG=AC+AG，
∵BG+（AC+AG）=AB+AC，
∴BG=（AB+AC）=（b+c）；

（2）證明：∵點(diǎn)D、F分別是BC、AB的中點(diǎn)，
∴DF=AC=b，BF=AB=c，
又∵FG=BG-BF=（b+c）-c=b，
∴DF=FG，
∴∠FDG=∠FGD，
∵點(diǎn)D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥AB，
∴∠EDG=∠FGD，
∴∠FDG=∠EDG，
即DG平分∠EDF；

（3）證明：∵△BDG與△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、G、C三點(diǎn)在以BC為直徑的圓周上，
∴∠BGC=90°，
即BG⊥CG．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．