Question

15．如圖，拋物線y=x²-2mx-3m²（m為常數(shù)，m＞0），與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，
（1）用m的代數(shù)式表示：點C坐標為（0，-3m²），AB的長度為4m；
（2）過點C作CD∥x軸，交拋物線于點D，將△ACD沿x軸翻折得到△AEM，延長AM交拋物線于點N，
①求$\frac{AM}{AN}$的值；
②若AB=4，直線x=t交線段AN于點P，交拋物線于點Q，連接AQ、NQ，是否存在實數(shù)t，使△AQN的面積最大？如果存在，求t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令橫坐標為0即可求出C點的縱坐標，將拋物線的解析式進行因式分解，可得出A、B兩點的坐標，從而得出AB的長度；
（2）①先求出D點坐標，再根據對稱性得出M點坐標，進而求出直線AM的解析式，將AM的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，解出N點坐標，N點與M點的縱坐標之比即為答案；
②將△AQN的面積表示成t的二次函數(shù)，通過配方求最大值．

解答 解：（1）令x=0，則y=-3m²，即C點的坐標為（0，-3m²），
∵y=x²-2mx-3m²=（x-3m）（x+m），
∴A（-m，0），B（3m，0），
∴AB=3m-（-m）=4m，
故答案為：（0，-3m²），4m；
（2）①令y=x²-2mx-3m²=-3m²，
則x=0（舍）或x=2m，
∴D（2m，-3m²），
∵將△ACD沿x軸翻折得到△AEM，
∴D、M關于x軸對稱，
∴M（2m，3m²），
設直線AM的解析式為y=kx+b，
將A、M兩點的坐標代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-mk+b=0}\\{2mk+b=3{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=m}\\{b={m}^{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為：y=mx+m²，
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+{m}^{2}}\\{y={x}^{2}-2mx-3{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-m}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=4m}\\{y=5{m}^{2}}\end{array}\right.$，
∴N（4m，5m²），
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{{y}_{M}}{{y}_{N}}=\frac{3}{5}$；
②如圖：

∵AB=4，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，直線AM的解析式為y=x+1，
∴P（t，t+1），Q（t，t²-2t，-3），N（4，5），A（-1，0），B（3，0）
設△AQN的面積為S，則：S=$\frac{1}{2}（{x}_{N}-{x}_{A}）（{y}_{P}-{y}_{Q}）$=$\frac{1}{2}（4+1）（t+1-{t}^{2}+2t+3）$=$-\frac{5}{2}（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{125}{8}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，S最大．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了二次函數(shù)與坐標軸交點坐標的求法、橫坐標之關表示水平距離、對稱變換的性質、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點的求法、坐標系中三角形面積表示方法、配方法求二次函數(shù)最大值等眾多知識，難度適中．利用過豎直直線將三角形面積分割，從而用橫坐標之差與縱坐標之差來表示三角形面積的方法是近幾年中考二次函數(shù)壓軸題中出現(xiàn)的高頻考點，務必深入理解其原理并熟練掌握．