Question

鐵匠王老五要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設(shè)計(jì)了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如圖所示的方案二．（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）請(qǐng)你幫助他算一算可以嗎？
（1）請(qǐng)說(shuō)明方案一不可行的理由；
（2）判斷方案二是否可行？若可行，請(qǐng)確定圓錐的母線長(zhǎng)及其底面圓半徑；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓的底面周長(zhǎng)，可得能圍成圓錐的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，與實(shí)際正方形的對(duì)角線長(zhǎng)比較，大于實(shí)際的正方形邊長(zhǎng)，所以不可行；
（2）設(shè)出圓錐的母線長(zhǎng)和底面半徑，讓扇形的弧長(zhǎng)等于圓的底面周長(zhǎng)，以及正方形的對(duì)角線長(zhǎng)聯(lián)立構(gòu)成方程組，即可求得圓錐的母線長(zhǎng)及其底面圓半徑．

解答：解：連接AC，E為兩圓的切點(diǎn)，
（1）理由如下：
∵扇形的弧長(zhǎng)=16×

π

2

=8π，圓錐底面周長(zhǎng)=2πr，
∴圓的半徑O₁E=4cm．
過(guò)O₁作O₁F⊥CD，
∴△CO₁F為等腰直角三角形，
∴O₁C=

2

O₁F=

2

O₁E=4

2

cm，
又∵AE=AB=16cm，
而制作這樣的圓錐實(shí)際需要正方形紙片的對(duì)角線長(zhǎng)為AE+EO₁+O₁C=16+4+4

2

=20+4

2

cm，
∵20+4

2

＞16

2

，
∴方案一不可行；

（2）方案二可行．求解過(guò)程如下：
設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm，圓錐的母線長(zhǎng)為Rcm，
∵在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上，
∴正方形對(duì)角線長(zhǎng)為16

2

cm，
則(1+

2

)r+R=16

2

，①
2πr=

2πR

4

．②
由①②，可得R=

64 2

5+ 2

=

320 2 -128

23

，r=

16 2

5+ 2

=

80 2 -32

23

．
故所求圓錐的母線長(zhǎng)為

320 2 -128

23

cm，底面圓的半徑為

80 2 -32

23

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題從閱讀（學(xué)習(xí)）能力、探究能力、邏輯推理能力等方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行了全面的考查．