Question

如圖，已知拋物線的對稱軸為直線l：x=4，且與x軸交于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究在此拋物線的對稱軸l上是否存在一點(diǎn)P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；

（3）以AB為直徑作⊙M，過點(diǎn)C作直線CE與⊙M相切于點(diǎn)E，CE交x軸于點(diǎn)D，求直線CE的解析式．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）利用頂點(diǎn)式，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）線段BC的長即為AP+CP的最小值；

（3）連接ME，根據(jù)CE是⊙M的切線得到ME⊥CE，∠CEM=90°，從而證得△COD≌△MED，設(shè)OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定線段CE的解析式即可．

【解答】解：（1）如圖1，由題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣4）²+k（a≠0）

∵拋物線經(jīng)過A（2，0）、C（0，2）．

∴，

解得：a=，．

∴，

即：．

令y=0，得x²﹣8x+12=0，

即（x﹣2）（x﹣6）=0，

∴x₁=2，x₂=6．

∴拋物線與x軸另﹣交于點(diǎn)B（6，0）．

（2）存在．

如本題圖2，連接CB交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即是使AP+CP的值最小的點(diǎn)．

∵A、B關(guān)于l對稱，

∴AP=BP，

∴AP+CP=CB，即AP+CP的最小值為BC．

∵OB=6，OC=2，

∴．

∴AP+CP的最小值為；

（3）如圖3，連接ME，

∵CE是⊙M的切線，

∴ME⊥CE，∠CEM=90°，

由題意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE．

在△COD與△MED中，

，

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM，

設(shè)OD=x，則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，

則在Rt△COD中，

又∵OD²+OC²=CD²，

∴x²+2²=（4﹣x）²，

解得，

∴D（，0），

設(shè)直線CE的解析式為y=mx+b，

∵直線CE過C（0，2）、D（，0）兩點(diǎn)，

∴，

解方程組得：．

∴直線CE的解析式為y=．

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識以及利用軸對稱求最短路徑和待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．