Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為B（0，0），C（6，0），且∠B=60°．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，其中0＜t＜2．
（1）當(dāng)t=

 

秒，△PCQ是等邊三角形；
（2）記△POC的面積為S₁；△APQ的面積為S₂．試探求S₁+S₂有沒(méi)有最小值？若有，求出最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由；
（3）是否存在t值，使PQ⊥AC？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證得△OCP≌△ACQ，從而得到PO=QA，根據(jù)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，表示出PO=2t，AQ=6-3t，從而列出方程2t=6-3t求解；
（2）過(guò)點(diǎn)P作EF平行于y軸，分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，分別表示出BP=2t，AQ=6-3t，得到PE=

3

t，PF=

3

（3-t），然后分別表示出S₁=3

3

t和S₂=

3 3

2

（2-t）（3-t），從而得到S₁+S₂=3

3

t+

3 3

2

（2-t）（3-t）確定最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC平分∠BAD，根據(jù)若有AP=AQ，可得PQ⊥AC，但AP=6-2t，DQ=6-3t，AP≠DQ，從而的不存在t值，使PQ⊥AC．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴∠DCA=∠ACO=60°，
∴OC=AC，
當(dāng)△PCQ是等邊三角形時(shí)，CP=CP，∠QCP=60°，
∴∠QCA=∠PCB，
在△OCP和△ACQ中，

CQ=CP ∠ACQ=∠OCP OC=AC

∴△OCP≌△ACQ（SAS），
∴PO=QA，
∵點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，
∴PO=2t，AQ=6-3t，
∴2t=6-3t，
解得：t=

6

5

；

（2）過(guò)點(diǎn)P作EF平行于y軸，分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，
根據(jù)題意得：BP=2t，AQ=6-3t，
∴PE=

3

t，PF=

3

（3-t），
∴S₁=3

3

t，S₂=

3 3

2

（2-t）（3-t），
∴S₁+S₂=3

3

t+

3 3

2

（2-t）（3-t）=

3 3

2

（t-

3

2

）²+

45 3

8

，
∴S₁+S₂有最小值，且最小值為

45 3

8

，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

3

）；

（3）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
若有AP=AQ，可得PQ⊥AC，
但AP=6-2t，AQ=6-3t，AP≠DQ，
∴不存在t值，使PQ⊥AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合知識(shí)，題目中涉及的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題更是中考的熱點(diǎn)考點(diǎn)之一，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，難度偏大．