Question

13．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，∠B=2∠C，AD=2，BD=1，則CD的長(zhǎng)為1+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 在DC上截DM=DB，則AB=AM，∠B=∠AMB=2∠C=2∠CAM，因此AM=CM，從而CD=DM+MC=AB+BD，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可．

解答 解：在DC上截DM=DB，
∵AD⊥BC，DM=BD，
∴AD是BM的垂直平分線，
∴AB=AM（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等），
∴∠B=∠AMB（等邊對(duì)等角），
∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC，
∴∠MAC=∠C，
∴AM=CM，
∴CM=AB，
∴CD=DM+MC=BD+AB，
∵在△ABD中，AD=2，BD=1，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CD=1+$\sqrt{5}$．
故答案為1+$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線證明出CD=DM+MC=BD+AB，此題有一定的難度．