Question

（1）如圖1，等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合，將此三角板繞點A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC、DC于點E、F，連結EF．猜想BE、EF、DF三條線段間的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（2）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E、F分別是BC、CD邊上的點，∠EAF=

1

2

∠BAD，連結EF，試猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ就可證△ADF≌△ABQ，就有AQ=AF，∠QAB=∠DAF，再可以得出△EAQ≌△EAF，就可以得出結論EF=BE+DF；
（2）如圖2，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，由軸對稱的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△ADC，就可以得出AB=AD，∠ABC=∠D，進而就可以得出△ADF≌△ABQ，得出AQ=AF，得出△EAQ≌△EAF就可以得出結論EF=BE+DF．

解答：解：（1）EF=BE+DF．                     
如圖1，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°．
∴∠ABQ=90°．
∴∠D=∠ABQ．
在△ADF和△ABQ中，

AD=AB ∠D=∠ABQ BQ=DF

，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF     
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°
∴∠DAF+∠BAE=45°
∴∠BAE+∠BAQ=45°
即∠EAQ=∠EAF．
在△EAQ和△EAF中，

AQ=AD ∠EAQ=∠EAF  AE=AE

，
∴△EAQ≌△EAF（SAS），
∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF；
（2）EF=BE+DF．                       
理由：如圖2，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，
∵△ABC與△ADC關于AC對稱，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，∠ABC=∠D．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABQ=∠D=90°．
在△ADF和△ABQ中，

AD=AB ∠D=∠ABQ DF=BQ

，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF             
∵∠EAF=

1

2

∠BAD
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF
∴∠BAQ+∠BAE=∠EAF
即∠EAQ=∠EAF 
在△EAQ和△EAF中，

AQ=AF ∠EAQ=∠EAF  AE=AE

，
∴△EAQ≌△EAF（SAS）
∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．