Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．
（1）求證：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如圖2，若P為線段EC上一動點，過點P作△AEC的內接矩形，使其定點Q落在線段AE上，定點M、N落在線段AC上，當線段PE的長為何值時，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）由矩形和翻折的性質可知AD=CE，DC=EA，根據“SSS”可求得△DEC≌△EDA；
（2）根據勾股定理即可求得．
（3）由矩形PQMN的性質得PQ∥CA，所以

PE

CE

=

PQ

CA

，從而求得PQ，由PN∥EG，得出

CP

CE

=

PN

EG

，求得PN，然后根據矩形的面積公式求得解析式，即可求得．

解答：（1）證明：由矩形和翻折的性質可知：AD=CE，DC=EA，
在△ADE與△CED中，

AD=CE DE=ED DC=EA

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）解：如圖1，
∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF，
設DF=x，則AF=CF=4-x，
在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，
即3²+x²=（4-x）²，
解得：x=

7

8

，
即DF=

7

8

．

（3）解：如圖2，由矩形PQMN的性質得PQ∥CA
∴

PE

CE

=

PQ

CA

又∵CE=3，AC=

AB2+BC2

=5
設PE=x（0＜x＜3），則

x

3

=

PQ

5

，即PQ=

5

3

x
過E作EG⊥AC于G，則PN∥EG，
∴

CP

CE

=

PN

EG

又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=

12

5

，
∴

3-x

3

=

PN

12 5

，即PN=

4

5

（3-x），
設矩形PQMN的面積為S，
則S=PQ•PN=-

4

3

x²+4x=-

4

3

(x-

3

2

)2+3（0＜x＜3）
所以當x=

3

2

，即PE=

3

2

時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為3．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理的應用，平行線分線段成比例定理．