Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點O是三角形內(nèi)的一點，且S_△OAB=S_△OBC=S_△OAC，那么$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}}{O{C}^{2}}$值為5．

Answer 1

分析 延長CO交AB于D，延長BO交AC于E，延長AO交BC于F，連接EF，如圖，易得EF=$\frac{1}{2}$AB，點O是△ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)可得AO=$\frac{2}{3}$AF，BO=$\frac{2}{3}$BE，CO=$\frac{2}{3}$CD，然后只需運用勾股定理就可解決問題．

解答 解：延長CO交AB于D，延長BO交AC于E，延長AO交BC于F，連接EF，如圖．
∵S_△OAB=S_△OBC=S_△OAC，
∴根據(jù)燕尾定理可得點D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，點O是△ABC的重心，
∴AO=$\frac{2}{3}$AF，BO=$\frac{2}{3}$BE，CO=$\frac{2}{3}$CD．
又∵∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}}{O{C}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{9}A{F}^{2}+\frac{4}{9}B{E}^{2}}{\frac{4}{9}C{D}^{2}}$
=$\frac{A{F}^{2}+B{E}^{2}}{C{D}^{2}}$
=$\frac{A{C}^{2}+C{F}^{2}+B{C}^{2}+C{E}^{2}}{C{D}^{2}}$
=$\frac{A{B}^{2}+E{F}^{2}}{C{D}^{2}}$
=$\frac{A{B}^{2}+\frac{1}{4}A{B}^{2}}{\frac{1}{4}A{B}^{2}}$
=5．
故答案為5．

點評 本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、燕尾定理、勾股定理等知識，運用燕尾定理得到點O是△ABC的重心，是解決本題的關(guān)鍵．