Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-4ax（a＞0）與x軸正半軸交于點C，這條拋物線的對稱軸與x軸交于點D，以CD為邊作菱形ABCD，若菱形ABCD的頂點A、B在這條拋物線上，則菱形ABCD的面積為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 拋物線的對稱軸交AB于E點，如圖，通過解方程ax²-4ax=0得到C（4，0），則拋物線的對稱軸為直線x=2，則D（2，0），所以CD=2，根據菱形的性質得AB=CD=AD=2，AB∥CD，接著利用拋物線的對稱性得到AE=BE=1，于是利用勾股定理可計算出DE，然后根據菱形的面積公式求解．

解答 解：拋物線的對稱軸交AB于E點，如圖，
當y=0時，ax²-4ax=0，解得x₁=0，x₂=4，則C（4，0），
所以拋物線的對稱軸為直線x=2，則D（2，0），
所以CD=4-2=2，
因為四邊形ABCD為菱形，
所以AB=CD=AD=2，AB∥CD，
所以點A、B關于直線x=2對稱，
所以AE=BE=1，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
所以菱形ABCD的面積=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質和菱形的性質．