Question

如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點M，連接CD交BE于點N，連接MN得△BMN．
（1）求證：△ABE≌△DBC．
（2）試判斷△BMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵等邊△ABD和等邊△BCE，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
∵，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；

（2）△BMN為等邊三角形，理由為：
證明：∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
又∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，
即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE和△NBC中，
∵，
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM=BN，∠MBE=60°，
則△BMN為等邊三角形．
分析：（1）由三角形ABD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩條邊對應相等，兩個角相等都為60°，利用SAS即可得到三角形ABE與三角形DBC全等；
（2）三角形BMN為等邊三角形，理由為：由第一問三角形ABE與三角形DBC全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定義得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB與三角形CNB全等，利用全等三角形的對應邊相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形BMN為等邊三角形．
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．同時做第二問時注意利用第一問已證的結論．