Question

【題目】如圖，拋物線與坐標軸交于點，點和點，連接．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，已知點在線段的上方（不包括點和點），過點作軸的垂線交直線于點，求線段的最大值；

（3）該拋物線上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，有最大值，最大值為；（3）存在，點的坐標為、、或．

【解析】

（1）把，點和點代入拋物線解析式組成三元一次方程組，解方程組，即可得拋物線的系數a、b、c的值，代入拋物線解析式即可．

（2）因為點P在拋物線上，所以設，而的直線方程為，所以，所以，利用二次函數性質求得PE的最大值為；

（3）過點作于點，過點作軸于點，由題意求得，再根據相似三角形的性質可得，，進而證出是等腰直角三角，從而求得，設，①當或時，點在點左側或在之間，橫縱坐標均為負數，，，所以，列方程解即可得P的坐標；②當或時，點在之間或在點右側，橫縱坐標異號，列方程即可得P點的坐標；

（1）∵拋物線與軸交于點，點，與y軸交于點

∴

∴

∴拋物線解析式為

（2）設，的直線方程為

∴，∴

當時，有最大值，最大值為

（3）如圖1，過點作于點，過點作軸于點

∴

∵

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形∴

∴

∴

∴

設

①當或時，點在點左側或在之間，橫縱坐標均為負數

∴，

∴

解得：，,

或

②當或時，點在之間或在點右側，橫縱坐標異號

∴

解得：，

∴或

綜上所述，點的坐標為、、或．