Question

已知，在△ABC中（∠A＜∠B），AB=AC=8，cosA=

7

8

．
（1）求BC的長(zhǎng)（如圖a）；
（2）P、Q分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BP：CQ=2：1，連接PQ并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，設(shè)CQ=x，CE=y（如圖b）．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的定義域；
②當(dāng)x為何值時(shí)，△PEA是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意作輔助線(xiàn)，然后根據(jù)勾股定理及余弦即可得出答案，
（2）①根據(jù)題意作輔助線(xiàn)，然后根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)列出一元二次方程，即可推理得出答案，
②根據(jù)題意作輔助線(xiàn)，然后利用假設(shè)推理及三角函數(shù)即可推理得出答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，
∵在Rt△ADB中，AB=8，cosA=

7

8

，
∴AD=AB•cosA=7，
∴CD=1，BD=

82-72

=

15

，
∴在Rt△BDC中，BC=

BD2+CD2

=

15+1

=4（1分），

（2）①過(guò)點(diǎn)P作PF∥BC，交AC于點(diǎn)F，
∴

PF

BC

=

AP

AB

=

AC-FC

AC

，
∴

PF

4

=

8-2x

8

=

8-FC

8

，
∴PF=4-x，F(xiàn)C=2x，
∵PF∥BC，
∴

CQ

PF

=

CE

FE

，
∴

x

4-x

=

y

2x+y

，
∴y=

x2

2-x

(0＜x＜2)，
②若AP=AE，AP＜8，AE＞8，矛盾，
∴AP=AE不存在，
若AE=PE，則∠A=∠APE，
∵∠APE＞∠B，∠A＜∠B，矛盾，
∴AE=PE不存在，
若AP=EP，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，
∴AM=

AE

2

=

8+y

2

，
∴cosA=

AM

AP

=

8+y 2

8-2x

=

7

8

，
整理得7x+2y=12，
又∵y=

x2

2-x

，解得x1=

6

5

，x2=4（舍去），
∴當(dāng)x=

6

5

時(shí)，△PEF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理、三角函數(shù)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)以及解直角三角形，比較綜合，難度較大．