Question

如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，以A為圓心，1為半徑作

BD

，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放置在

BD

（不包括端點(diǎn)B、D）上滑動(dòng)，一條直角邊通過(guò)頂點(diǎn)A，另一條直角邊與邊BC相交于點(diǎn)Q，連接PC，并設(shè)PQ=x，以下我們對(duì)△CPQ進(jìn)行研究．
（1）△CPQ能否為等邊三角形？若能，則求出x的值；若不能，則說(shuō)明理由；
（2）求△CPQ周長(zhǎng)的最小值；
（3）當(dāng)△CPQ分別為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形時(shí)分別求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先假設(shè)△CPQ為等邊三角形，然后可得x=BQ=PQ=CQ=

1

2

，然后連接AQ，由∠BAQ的正切，可得x=

3

3

，得出矛盾，即可證得△CPQ不能為等邊三角形；
（2）首先由△CPQ的周長(zhǎng)=PQ+QC+CP，可得△CPQ周長(zhǎng)為1+PC，然后由PC≥AC-PA，求得PC的最小值，即可求得△CPQ周長(zhǎng)的最小值；
（3）首先連接AC，交

BD

于P₀，則可得P₀Q=BQ=x，∠P₀CQ=45°，∠CP₀Q=90°；繼而可得P₀Q=BQ=x=

2

-1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°，然后從△CPQ分別為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形時(shí)去分析，即可求得答案．

解答：解：（1）假設(shè)△CPQ為等邊三角形時(shí)，
一方面x=BQ=PQ=CQ=

1

2

，（1分）
另一方面，連接AQ，
∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°，
∴∠AQP=60°，
∵∠PQC=60°，
∴∠AQB=60°，
∴∠BAQ=30°，
∴tan∠BAQ=tan30°=

x

1

，
∴x=

3

3

，（2分）
∴得出自相矛盾；
∴△CPQ不能為等邊三角形．（3分）

（2）△CPQ的周長(zhǎng)=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；（4分）
又∵PC≥AC-PA=

2

-1，
∴△CPQ的周長(zhǎng)≥1+

2

-1=

2

，
即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P₀時(shí)，△CPQ的周長(zhǎng)最小值是

2

．（6分）

（3）連接AC，交

BD

于P₀，則P₀Q=BQ=x，∠P₀CQ=45°，∠CP₀Q=90°；
∴P₀Q=BQ=x=

2

-1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°．（7分）
①當(dāng)P在

DP0

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵∠APQ=90°，
∴0°＜∠CPQ＜90°，
此時(shí)△CPQ是銳角三角形，

2

-1＜x＜1．（8分）
②當(dāng)P與P₀重合時(shí)，∠CPQ=90°，此時(shí)△CPQ是直角三角形，x=

2

-1．（9分）
③當(dāng)P在

P0B

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵∠APC＜180°，∠APQ=90°，
∴90°＜∠CPQ＜180°，
此時(shí)△CPQ是鈍角三角形，0＜x＜

2

-1．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的求解方法，反證法的應(yīng)用，三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．