Question

如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,三角形中位線定理,圓周角定理

專題：計算題

分析：連結BE，設⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得AC=BC=

1

2

AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根據(jù)勾股定理得到（R-2）²+4²=R²，解得R=5，則OC=3，由于OC為△ABE的中位線，則BE=2OC=6，再根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計算出CE．

解答：解：連結BE，設⊙O的半徑為R，如圖，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，
∵OC²+AC²=OA²，
∴（R-2）²+4²=R²，解得R=5，
∴OC=5-2=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE為直徑，
∴∠ABE=90°，
在Rt△BCE中，CE=

BC2+BE2

=

62+42

=2

13

．
故答案為：2

13

．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理、圓周角定理．