Question

16．已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象上，當x₁=1，x₂=3時，y₁=y₂．
（1）①求m的值；②若拋物線與x軸只有一個公共點，求n的值；
（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函數(shù)圖象上的兩點，且b₁＞b₂，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用當x₁=1，x₂=3時函數(shù)值相等得到1+m+n=9+3m+n，然后解關(guān)于m的方程即可得到m的值；
②根據(jù)△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點得到16-4n=0，然后解關(guān)于n的方程即可；
（2）討論：當P（a，b₁），Q（3，b₂）在對稱軸的右側(cè)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)易得a＞3時，b₁＞b₂；當P（a，b₁），Q（3，b₂）在對稱軸的兩側(cè)，通過比較兩點到對稱軸的距離的大小可判斷a＜1時，b₁＞b₂．

解答 解：（1）①∵x₁=1，x₂=3時，y₁=y₂，
∴1+m+n=9+3m+n，
∴m=-4；
②∵拋物線與x軸只有一個公共點，
∴△=m²-4n=0，即16-4n=0，
∴n=4；
（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴當P（a，b₁），Q（3，b₂）在對稱軸的右側(cè)，則a＞3時，b₁＞b₂；
當P（a，b₁），Q（3，b₂）在對稱軸的兩側(cè)，而當x₁=1，x₂=3時，y₁=y₂，則a＜1時，b₁＞b₂．
∴實數(shù)a的取值范圍為a＜1或a＞3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了分類討論思想的運用．