Question

如圖，在平面直角坐標系中．點O為坐標原點，直線y=

3

4

x+6與x軸交于點A，與y軸交于點C，點B為x軸正半軸上一點，∠CAB=∠OCB．點E從A點出發(fā)沿AC反方向運動，點F從B點出發(fā)沿BC方向運動，兩點同時出發(fā)，速度均為1個單位/秒，設(shè)運動時間為t秒．
（1）求直線BC的解析式；
（2）連接EF，將射線EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45°，交直線BC于點Q，過點F作FM⊥EQ，垂足為M，連接MC，求MC的長；
（3）在（2）的條件下，t為何值時FC=

1

5

FQ．直接寫出t的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)y=

3

4

x+6與x軸交于點A，與y軸交于點C，求出OA=8，OC=6，設(shè)OB=a，根據(jù)

OC

OA

=

OB

OC

，求出a，得出點B的坐標，再把B、C兩點的坐標代入y=kx+b即可得出答案；
（2）過點M作MK⊥FC交AC于點K，根據(jù)∠EMK=∠FMC，∠FEM=∠MCF，ME=MF，證出△MEK≌△MFC，得出∠MCK=∠MKC=45°，再求出AC=10，BC=

15

2

，從而得出CE=10-t，CF=

15

2

-t，再求出CK=CE-EK=

35

2

，最后根據(jù)

2

CM=CK，即可得出CM的長；
（3）以CA，CB分別為x 軸、y 軸建立直角坐標系，則A（10，0），B（0，

15

2

），E（10+t，0），F(xiàn)（0，

15

2

-t），求得EF的斜率k₁=

t- 15 2

t+10

=

2t-15

2t+20

，又知EQ到EF的角為 45°，求得EQ的斜率k₂ 滿足 tan45°=

k1-k2

1+k1k2

=1，即k₂=

k1-1

k2+1

=

2t-15 2t+20 -1

2t-15 2t+20 +1

=

-35

4t+5

  令Q（0，h）又有k₂=

h

-10-t

=

-35

4t+5

，解之得h=

350+35t

4t+5

，由CQ=6CF，則

350+35t

4t+5

=6（

15

2

-t） 整理得24t²-115t+125=0即可解得．

解答：解：（1）∵y=

3

4

x+6與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴A（-8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
設(shè)OB=a，
∵∠CAB=∠OCB，
∴tan∠CAB=tan∠OCB，
∴

OC

OA

=

OB

OC

=

6

8

，
∴

6

8

=

a

6

，
∴a=

9

2

∴B（

9

2

，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B、C兩點的坐標代入y=kx+b得：

6=b 0= 9 2 k+b

，
解得：

k=- 4 3 b=6

，
∴直線BC的解析式為y=-

4

3

x+6；

（2）過點M作MK⊥MC交AC于點K，
∵∠EMF=∠KMC=90°，
∴∠EMK=∠FMC，
∵∠CAB=∠OCB
∴∠CAB+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°
∴∠ACB=90°，
∵∠CKM+∠KCM=∠KCM+∠MCF=90°
∴∠CKM=∠MCF，
∵∠MEF=∠45°，F(xiàn)M⊥EM，
∴EM=FM
在△MEK和△MFC中，

∠CKM=∠MCF EM=FM ∠EMK=∠FMC

∴△MEK≌△MFC（AAS），
∴EK=CF  MK=MC，
∴∠MCK=∠MKC=45°，
∵OC=6，OA=8，OB=

9

2

，
∴AC=10，BC=

15

2

，
∴CE=10+t，CF=

15

2

-t，
∴CK=CE+EK=10+t+（

15

2

-t）=

35

2

，
∴

2

CM=CK=

35

2

，
∴CM=

35 2

4

．


（3）在（2）的條件下，t=

5

3

或

25

8

時，F(xiàn)C=

1

5

FQ

點評：本次考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，用的知識點是一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、全等三角形的全等與性質(zhì)，解題時注意分類討論思想的應(yīng)用．