問(wèn)題情境:
小明和小穎在吃冰淇淋時(shí),對(duì)其所用的一次性紙杯(如圖1)產(chǎn)生了興趣,決定對(duì)制做這種紙杯的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行研究,他們發(fā)現(xiàn)紙杯是圓臺(tái)形狀(即一個(gè)大圓錐截去一個(gè)小圓錐后余一的部分,如圖2),并測(cè)得杯口直徑AB=8cm,杯底直徑CD=6cm,杯壁母線(xiàn)長(zhǎng)AC=BD=6cm,說(shuō)明:整個(gè)探究過(guò)程中均忽略紙杯的接接部分和紙杯的厚度.
數(shù)學(xué)理解:
(1)為進(jìn)一步探究問(wèn)題的本質(zhì),小穎畫(huà)出紙杯的側(cè)面展開(kāi)的大致圖形,如圖3,得到的圖形是圓環(huán)的一部分,那么,圖3中
的長(zhǎng)為
cm,
的長(zhǎng)為
cm.
(2)小明認(rèn)為,要想準(zhǔn)確畫(huà)出紙杯的側(cè)面展開(kāi)圖,需要確定圖3中
和
所在圓的半徑OE,OF的長(zhǎng)以及圓心角∠BOE的度數(shù),小穎根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式猜想得到
=
,請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論,并根據(jù)這個(gè)結(jié)論,求
所在圓的半徑OF及它所對(duì)的圓心角∠BOE的度數(shù).
問(wèn)題解決:
(3)明確了紙杯側(cè)面展開(kāi)圖的有關(guān)數(shù)據(jù)和圖形的性質(zhì)后,他們繼續(xù)探究將原材料截前成紙杯側(cè)面的方案,并給出了方案,將原材料剪成矩形紙片,再按如圖4所示的方式剪出這個(gè)紙杯的側(cè)面,其中,扇形OBE的
與矩形GHMN的邊GH相切于點(diǎn)P,點(diǎn)P是
的中點(diǎn),點(diǎn)B,E,F(xiàn),D均在矩形的邊上,請(qǐng)直接寫(xiě)出矩形紙片的長(zhǎng)和寬.