Question

17．如圖，AD是△ABC的中線，∠CAD=60°，AD=4，AB-AC=2，則BC的長為2$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD于點F，先通過證明△BAD≌△CED得出AB=EC，AD=ED；再設AC=a，則EC=AB=a+2，通過勾股定理以及特殊角的三角函數(shù)值表示出來CF，由CF相等得出關于a的一元二次方程，解方程即可得出AC的長度；最后在Rt△CFD中由勾股定理求出CD的長度，由此得出結論．

解答 解：過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD于點F，如圖所示．

∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD，∠DCE=∠B，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD．
在△BAD和△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠BAD}\\{BD=CD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CED（AAS），
∴AB=EC，AD=ED．
設AC=a，則EC=AB=a+2．
在Rt△AFC中，AC=a，∠CAF=60°，∠AFC=90°，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AF=$\frac{1}{2}$a，
∵AD=ED=4，EF=AE-AF，
∴EF=8-$\frac{1}{2}$a．
由勾股定理可得：CF²=CE²-EF²，
即$\frac{3}{4}{a}^{2}$=$（a+2）^{2}-（8-\frac{1}{2}a）^{2}$，
解得：a=5．
故AC=5，AF=$\frac{5}{2}$，CF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)D=AD-AF=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理可得：CD²=CF²+FD²=21，
∴BC=2CD=2$\sqrt{21}$．
故答案為：2$\sqrt{21}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定及性質、三角形的中位線定理、勾股定理以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是求出CF和DF的長度．本題屬于中檔題，難度不大，該題在兩個直角三角形中分別表示CF，通過兩個CF相等得出關于AC長度的一元二次方程，解方程得出AC的長度．解決該題型題目時，根據(jù)邊角關系巧設未知數(shù)，列出方程是關鍵．