Question

9．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，P是△ABC外一點(diǎn)，且PB⊥PC，試判斷PA，PB，PC的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 注意到四邊形ABPC對(duì)角互補(bǔ)，且AB=AC，由此可將三角形ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至三角形ACD，從而易證三角形APD是等腰直角三角形，結(jié)論顯然．

解答 解：PC+PB=$\sqrt{2}$PA．
如圖，延長(zhǎng)PC至D，使CD=BP，連接AD，
∵∠BAC=∠BPC=90°，
∴∠ABP+∠ACP=180°，
∵∠ACP+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠ABP，
在△ABP和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACD（SAS），
∴AP=AD，∠BAP=∠CAD，
∵∠BAP+∠PAC=90°，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
即∠PAD=90°，
∴△PAD是等腰直角三角形，
∴PD=$\sqrt{2}$PA，
即PC+PB=$\sqrt{2}$PA．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．本題實(shí)際上是一種經(jīng)典旋轉(zhuǎn)模型，即四邊形對(duì)角互補(bǔ)，又有一組鄰邊相等的情況下，可用旋轉(zhuǎn)，這一技巧要求熟練掌握．