Question

如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．連結(jié)PQ，M為線段PQ的中點，則在整個運動過程中，M點所經(jīng)過的路徑長為

 

．

Answer 1

考點：軌跡

專題：壓軸題

分析：先以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知0≤t≤3，求得t=0及t=3時M的坐標(biāo)，得到直線M₁M₂的解析式為y=-2x+8．過點M₂作M₂N⊥x軸于點N，則M₂N=3，M₁N=

3

2

，M₁M₂=

3 5

2

，線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為

3 5

2

個單位長度．

解答：解：以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

依題意，可知0≤t≤3，當(dāng)t=0時，點M₁的坐標(biāo)為（4，0）；
當(dāng)t=3時，點M₂的坐標(biāo)為（

5

2

，3），設(shè)直線M₁M₂的解析式為y=kx+b，
∴

4k+b=0 5 2 k+b=3

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直線M₁M₂的解析式為y=-2x+8．
∵點Q（0，2t），P（8-t，0），
∴在運動過程中，線段PQ中點M₃的坐標(biāo)為（

8-t

2

，t），
把x=

6-t

2

，代入y=-2x+8，得y=-2×

8-t

2

+8=t，
∴點M₃在M₁M₂直線上，
過點M₂作M₂N⊥x軸于點N，則M₂N=3，M₁N=

3

2

，
∴M₁M₂=

3 5

2

，
∴線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為

3 5

2

單位長度．
故答案為：

3 5

2

．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．用到解二元一次方程組以及勾股定理，綜合性較強．