Question

某公司裝修需用A型板材240塊、B型板材180塊，A型板材規(guī)格是60cm×30cm，B型板材規(guī)格是40cm×30cm．現(xiàn)只能購(gòu)得規(guī)格是150cm×30cm的標(biāo)準(zhǔn)板材．一張標(biāo)準(zhǔn)板材盡可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三種裁法：（如圖是裁法一的裁剪示意圖）

	裁法一	裁法二	裁法三
A型板材塊數(shù)	1	2	0
B型板材塊數(shù)	2	m	n

設(shè)所購(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)板材全部裁完，其中按裁法一裁x張、按裁法二裁y張、按裁法三裁z張，且所裁出的A、B兩種型號(hào)的板材剛好夠用．
（1）上表中，m=

 

，n=

 

；
（2）分別求出y與x和z與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若用Q表示所購(gòu)標(biāo)準(zhǔn)板材的張數(shù)，求Q與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出當(dāng)x取何值時(shí)Q最小，此時(shí)按三種裁法各裁標(biāo)準(zhǔn)板材多少?gòu)垼?

Answer 1

分析：（1）按裁法二裁剪時(shí)，2塊A型板材塊的長(zhǎng)為120cm，150-120=30，所以無(wú)法裁出B型板，按裁法三裁剪時(shí)，3塊B型板材塊的長(zhǎng)為120cm，120＜150，而4塊塊B型板材塊的長(zhǎng)為160cm＞150所以無(wú)法裁出4塊B型板；
（2）由題意得：共需用A型板材240塊、B型板材180塊，又因?yàn)闈M足x+2y=240，2x+3z=180，然后整理即可求出解析式；
（3）由題意，得Q=x+y+z=x+120-

1

2

x+60-

2

3

x和

120- 1 2 x≥0 60- 2 3 x≥0

，[注：事實(shí)上，0≤x≤90且x是6的整數(shù)倍]．由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=90時(shí)，Q最�。�此時(shí)按三種裁法分別裁90張、75張、0張．

解答：解：（1）按裁法二裁剪時(shí)，2塊A型板材塊的長(zhǎng)為120cm，150-120=30，所以無(wú)法裁出B型板，
按裁法三裁剪時(shí)，3塊B型板材塊的長(zhǎng)為120cm，120＜150，
而4塊塊B型板材塊的長(zhǎng)為160cm＞150cm，所以無(wú)法裁出4塊B型板；
∴m=0，n=3；

（2）由題意得：共需用A型板材240塊、B型板材180塊，
又∵滿足x+2y=240，2x+3z=180，
∴整理即可求出解析式為：y=120-

1

2

x，z=60-

2

3

x；

（3）由題意，得Q=x+y+z=x+120-

1

2

x+60-

2

3

x．
整理，得Q=180-

1

6

x．
由題意，得

120- 1 2 x≥0 60- 2 3 x≥0

解得x≤90．
[注：事實(shí)上，0≤x≤90且x是6的整數(shù)倍]
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=90時(shí)，Q最小．
由（2）知，y=120-

1

2

x=120-

1

2

×90=75，z=60-

2

3

x=60-

2

3

×90=0；
故此時(shí)按三種裁法分別裁90張、75張、0張．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了一次函數(shù)圖象和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的問(wèn)題，在做題時(shí)要明缺所裁出A型板材和B型板材的總長(zhǎng)度不能超過(guò)150cm．