Question

（2010•寧波）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO，若DE=2，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)垂徑定理得CE的長，再根據(jù)已知DE平分AO得CO=AO=OE，解直角三角形求解．
（2）先求出扇形的圓心角，再根據(jù)扇形面積和三角形的面積公式計算即可．
解答：解：（1）∵直徑AB⊥DE，
∴CE=DE=．
∵DE平分AO，
∴CO=AO=OE．
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO==，
∴∠CEO=30°．
在Rt△COE中，
OE===2．
∴⊙O的半徑為2．

（2）連接OF．
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°-45°=45°．
∴∠EOF=2∠D=90°．
∴S_扇形OEF=×π×2²=π．
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴S_Rt△OEF=×OE×OF=2．
∴S_陰影=S_扇形OEF-S_Rt△OEF=π-2．
點評：此題綜合考查了垂徑定理和解直角三角形及扇形的面積公式．