Question

1．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanA=$\frac{4}{3}$，CD⊥AB于點D，DE⊥AC，點F在線段BC上，EF交CD于點M．
（1）求CD的長；
（2）若△EFC與△ABC相似，試求線段EM的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件易求BC、AB的長，再根據(jù)△ACB的面積為定值即可求出CD的長，
（2）若△EFC與△ABC相似，則CE可以和BC為對應邊，也可以和AC為對應邊，所以此題要分兩種情況討論求出CF的長，再由△DEM∽△CFM即可求出不同情況下EM的長．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵CD⊥AB于點D，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴CD=2.4；
（2）∵CD⊥AB于點D，tanA=$\frac{4}{3}$，AC=3，
∴AD=$\frac{9}{5}$，
∵DE⊥AC，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴AE=$\frac{27}{20}$，DE=$\frac{36}{27}$，
∴CE=3-$\frac{27}{20}$=$\frac{33}{20}$，
若△EFC與△ABC相似，
則$\frac{CE}{AC}=\frac{CF}{BC}=\frac{EF}{AB}$或$\frac{CE}{BC}=\frac{CF}{AC}=\frac{EF}{AB}$，
解得：CF=$\frac{11}{5}$或$\frac{99}{80}$，EF=$\frac{11}{4}$或$\frac{33}{16}$，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△DEM∽△CFM，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{EM}{FM}$，
∴EM=$\frac{144}{125}$或$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)的運用、勾股定理的運用以及三角形面積公式的運用，題目對學生的計算能力要求很高，注意分類討論的數(shù)學思想運用是解題關鍵．