Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于點A（-1，0）、B（x₁，0），頂點在第一象限．下列結論：①ab＜0；②0＜b＜2；③x₁＞2；④關于x的方程ax²+bx+1=0有兩個不相等實數根；⑤將該拋物線沿某一方向平移后所得拋物線y=ax²+bx與x軸交于點C、D，則AB-CD=2．其中正確結論的個數為（　�。�

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數圖象與系數的關系

專題：

分析：采用形數結合的方法解題，根據拋物線的開口方向，對稱軸的位置判斷a、b、c的符號，把兩根關系與拋物線與x軸的交點情況結合起來分析問題．

解答： 解：如圖，對稱軸在y軸的右側，則a、b異號，即ab＜0．故①正確；
∵圖象過A點，
∴a-b+2=0，解得a=b-2，且a＜0，b＞0，
∴b-2＜0，可得0＜b＜2，
故②正確；
由根與系數的關系可得-1×x₁=

2

a

=

2

b-2

，
∴x₁=

2

2-b

，
∵0＜b＜2，
∴

2

2-b

＞1，故③不正確；
令y=ax²+bx+1，則其圖象相當于y=ax²+bx+2的圖象向下平移一個單位，且最大值大于2，
∴y=ax²+bx+1的圖象與x軸有兩個交點，
∴方程ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，故④正確；
由題可知AB=x₁+1=

2

2-b

+1=

4-b

2-b

，
在y=ax²+bx中，令y=0可得ax²+bx=0，可解得x=0或x=-

b

a

=

b

2-b

，
∴CD=

b

2-b

，
∴AB-CD=

4-b

2-b

-

b

2-b

=2，故⑤正確；
綜上可知正確的為①②④⑤共4個，
故選C．

點評：主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，根的判別式的熟練運用．