Question

7．如圖，AB=16cm，點D為射線AC上一點，且AD=20cm，點E是平面上任一點，且BE=3AE．
（1）如果點E在直線AB上，則AE的長度為4或8cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，請指明點E的位置，此時最小值是60cm；
（3）如果AD⊥AB，（2）中的結論還成立嗎？（填“成立”或“不成立”）．

Answer 1

分析 （1）點E在直線AB上有3種情況，點E在線段AB上、在射線BA上、在射線AB上，顯然在射線AB上不合題意，分別就剩余兩種情況求得AE的值；
（2）結合BE=3AE知3ED+BE=3（DE+AE），在△ADE中知當點E在線段AD上時，DE+AE最小，可求得3ED+BE的最小值；
（3）依然成立，與（2）同理．

解答 解：（1）∵BE=3AE，
∴當點E在線段AB上時，AE+BE=AB，即AE+3AE=16，解得：AE=4cm；
當點E在射線BA上時，BE-AE=AB，即3AE-AE=16，解得：AE=8cm；
（2）∵BE=3AE，
∴3ED+BE=3ED+3AE=3（DE+AE），
當點E在線段AD上時，DE+AE最小，DE+AE=AD=20cm，
故3ED+BE的最小值為60cm；
（3）成立，與（2）同理．
故答案為：（1）4或8；（2）60．

點評 本題主要考查兩點之間的距離及兩線段和的最小值，全面考慮所有情況是容易忽略點，線段和最小通常放到三角形中根據三邊之間關系可判斷最小情況．