Question

受國內(nèi)外復(fù)雜多變的經(jīng)濟(jì)環(huán)境影響，去年1至7月，原材料價(jià)格一路攀升，義烏市某服裝廠每件衣服原材料的成本y₁（元）與月份x（1≤x≤7，且x為整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7
成本（元/件）	56	58	60	62	64	66	68

8至12月，隨著經(jīng)濟(jì)環(huán)境的好轉(zhuǎn)，原材料價(jià)格的漲勢(shì)趨緩，每件原材料成本y₂（元）與月份x的函數(shù)關(guān)系式為y₂=x+62（8≤x≤12，且x為整數(shù)）．
（1）請(qǐng)觀察表格中的數(shù)據(jù)，用學(xué)過的函數(shù)相關(guān)知識(shí)求y₁與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若去年該衣服每件的出廠價(jià)為100元，生產(chǎn)每件衣服的其他成本為8元，該衣服在1至7月的銷售量p₁（萬件）與月份x滿足關(guān)系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x為整數(shù)）； 8至12月的銷售量p₂（萬件）與月份x滿足關(guān)系式p₂=-0.1x+3（8≤x≤12，且x為整數(shù)），該廠去年哪個(gè)月利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）由表格中數(shù)據(jù)可猜測(cè)，y₁是x的一次函數(shù)．把表格（1）中任意兩組數(shù)據(jù)代入直線解析式可得y₁的解析式．
（2）分情況探討得：1≤x≤7時(shí)，利潤=p₁×（售價(jià)-各種成本）；80≤x≤12時(shí)，利潤=p₂×（售價(jià)-各種成本）；并求得相應(yīng)的最大利潤即．

解答：解：（1）由表格中數(shù)據(jù)可猜測(cè)，y₁是x的一次函數(shù)．
設(shè)y₁=kx+b   
 則

k+b=56 2k+b=58

解得：

k=2 b=54

∴y₁=2x+54，
經(jīng)檢驗(yàn)其它各點(diǎn)都符合該解析式，
∴y₁=2x+54（1≤x≤7，且x為整數(shù)）．

（2）設(shè)去年第x月的利潤為w萬元．
當(dāng)1≤x≤7，且x為整數(shù)時(shí)，
w=p₁（100-8-y₁）=（0.1x+1.1）（92-2x-54）=-0.2x²+1.6x+41.8=-0.2（x-4）²+45，
∴當(dāng)x=4時(shí)，w_最大=45萬元；                         
當(dāng)8≤x≤12，且x為整數(shù)時(shí)，
w=p₂（100-8-y₂）=（-0.1x+3）（92-x-62）=0.1x²-6x+90=0.1（x-30）²，
∴當(dāng)x=8時(shí)，w_最大=48.4萬元．
∴該廠去年8月利潤最大，最大利潤為48.4萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用；根據(jù)二次函數(shù)的最值及相應(yīng)的取值范圍得到一定范圍內(nèi)的最大值是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．