Question

如圖，矩形AOBC的頂點坐標分別為A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），動點F在邊BC上（不與B、C重合），過點F的反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與邊AC交于點E，直線EF分別與y軸和x軸相交于點D和G．給出下列命題：
①若k=4，則△OEF的面積為

8

3

；
②若k=

21

8

，則點C關(guān)于直線EF的對稱點在x軸上；
③滿足題設(shè)的k的取值范圍是0＜k≤12；
④若DE•EG=

25

12

，則k=1．
其中正確的命題的序號是

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,勾股定理

專題：壓軸題,數(shù)形結(jié)合,待定系數(shù)法

分析：（1）若k=4，則計算S_△OEF=

16

3

≠

8

3

，故命題①錯誤；
（2）如答圖所示，若k=

21

8

，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；
（3）因為點F不經(jīng)過點C（4，3），所以k≠12，故命題③錯誤；
（4）求出直線EF的解析式，得到點D、G的坐標，然后求出線段DE、EG的長度；利用算式DE•EG=

25

12

，求出k=1，故命題④正確．

解答：解：命題①錯誤．理由如下：
∵k=4，
∴E（

4

3

，3），F(xiàn)（4，1），
∴CE=4-

4

3

=

8

3

，CF=3-1=2．
∴S_△OEF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△CEF
=S_矩形AOBC-

1

2

OA•AE-

1

2

OB•BF-

1

2

CE•CF
=4×3-

1

2

×3×

4

3

-

1

2

×4×1-

1

2

×

8

3

×2=12-2-2-

8

3

=

16

3

，
∴S_△OEF≠

8

3

，故命題①錯誤；
命題②正確．理由如下：
∵k=

21

8

，
∴E（

7

8

，3），F(xiàn)（4，

21

32

），
∴CE=4-

7

8

=

25

8

，CF=3-

21

32

=

75

32

．
如答圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則EM=3，OM=

7

8

；
在線段BM上取一點N，使得EN=CE=

25

8

，連接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN=

EN2-EM2

=

( 25 8 )2-32

=

7

8

，
∴BN=OB-OM-MN=4-

7

8

-

7

8

=

9

4

．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF=

BN2+BF2

=

( 9 4 )2+( 21 32 )2

=

75

32

．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點N與點C關(guān)于直線EF對稱，
故命題②正確；
命題③錯誤．理由如下：
由題意，點F與點C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命題③錯誤；
命題④正確．理由如下：
為簡化計算，不妨設(shè)k=12m，則E（4m，3），F(xiàn)（4，3m）．
設(shè)直線EF的解析式為y=ax+b，則有

4ma+b=3 4a+b=3m

，解得

a=- 3 4 b=3m+3

，
∴y=-

3

4

x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=4m+4，∴G（4m+4，0）．
如答圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=

25

12

，解得m=

1

12

，
∴k=12m=1，故命題④正確．
綜上所述，正確的命題是：②④，
故答案為：②④．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法、矩形及勾股定理等多個知識點，有一定的難度．本題計算量較大，解題過程中注意認真計算．