Question

14．如圖，四邊形OABC為正方形，點A在x軸上，點C在y軸上，點B（8，8），點P在邊OC上，點M在邊AB上．把四邊形OAMP沿PM對折，PM為折痕，使點O落在BC邊上的點Q處．動點E從點O出發(fā)，沿OA邊以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，運動時間為t，同時動點F從點O出發(fā)，沿OC邊以相同的速度向終點C運動，當點E到達點A時，E、F同時停止運動．
（1）若點Q為線段BC邊中點，直接寫出點P、M的坐標；
（2）在（1）的條件下，設(shè)△OEF與四邊形OAMP重疊面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（1）的條件下，在正方形OABC邊上是否存在點H，使△PMH為等腰三角形？若存在，求點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形，利用點Q為線段BC邊中點，由點B的坐標，所以可以求出P的坐標，再利用△CPQ∽BQN，△BQN∽△DMN，得出MA的長進而得出M點坐標；
（2）根據(jù)（1）的條件，可以分兩種情況進行解答，第一種情況當0≤t≤5時，可以求出S的值，第二種情況當5≤t≤8時，設(shè)EF與PM交點為R，作RI⊥y軸，MS⊥y軸，可以證出RI=FI，有根據(jù)FI=2PI可以證出FP=PI，PI=2PF，PF=t-5，RI=2（t-5），最后解出結(jié)果．
（3）根據(jù)（1）的條件，可以分三種情況進行討論，第一種情況先作PM的中垂線交正方形的邊為點H₁，H₂，則PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，所以點H₁，H₂即為所求點，分別求出H₁、H₂的坐標；第二種情況當PM=PH₃時的情況，分別求出PM、MH₃、OH₃的值，最后求出H₃的坐標．第三種情況當PM=MH₄時，分別求出PM、MH₄ BH4的值，即可求出H₄ 的坐標．

解答 解：（1）∵點Q為線段BC邊中點，B（8，8），
∴設(shè)OP=x，則CP=8-x，
故（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴P（0，5），
可得△CPQ∽BQN，
則$\frac{CP}{BQ}$=$\frac{CQ}{BN}$，
即$\frac{3}{4}$=$\frac{4}{BN}$，
解得：BN=$\frac{16}{3}$，
故AN=$\frac{8}{3}$，
再利用△BQN∽△DMN，
可得AM=1，
故M（8，1）；

（2）①當0≤t≤5時，S=$\frac{1}{2}$t²，
     ②當5≤t≤8時，如圖1，設(shè)EF與PM交點為R，作RI⊥y軸，MS⊥y軸，

∵EO=FO，∴RI=FI，
又∵$\frac{RI}{PI}$=$\frac{SM}{PS}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，RI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S_△OEF-S_△PRF，
=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$（t-5）•2（t-5），
=-$\frac{1}{2}$t²+10t-25；

（3）①如圖2，作PM的中垂線交正方形的邊為點H₁，H₂，

，則PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，
∴點H₁，H₂即為所求點，
設(shè)OH₁=x，∵PH₁=MH₁，
∴x²+5²=（8-x）²+1²
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴H₁（$\frac{5}{2}$，0），
同理，設(shè)CH₂=y，∵PH₂=MH₂，
∴3²+y²=（8-y）²+7²
解得：y=$\frac{13}{2}$，
∴H₂（$\frac{13}{2}$，8），
②當PM=PH₃時，
∵PM=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴PH₃=4$\sqrt{5}$，
又∵PO=5，
∴OH₃=$\sqrt{55}$，
∴H₃（$\sqrt{55}$，0），
③當PM=MH₄時，
∵PM=4$\sqrt{5}$，
∴MH₄=4$\sqrt{5}$，又∵BM=7，
∴BH₄=$\sqrt{31}$，
∴H₄（8-$\sqrt{31}$，8），
綜上，一共存在四個點，H₁（$\frac{5}{2}$，0），H₂（$\frac{13}{2}$，8），H₃（$\sqrt{55}$，0），H₄（8-$\sqrt{31}$，8）．

點評 本題主要考查了相似三角形判定和的性質(zhì)以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識，在解題時要注意要根據(jù)點的不同位置進行分類討論，不要漏解．