Question

（2012•莆田）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC四個頂點的坐標分別為O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點A．

（1）求c的值；
（2）若a=-1，且拋物線與矩形有且只有三個交點A、D、E，求△ADE的面積S的最大值；
（3）若拋物線與矩形有且只有三個交點A、M、N，線段MN的垂直平分線l過點0，交線段BC于點F．當BF=1時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）把（0，3）代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax²+bx+c中，易求c；
（2）當a=-1時，函數(shù)解析式是y=-x²+bx+3，設D點坐標是（e，3），E點坐標是（6，f），分別把D、E的坐標代入y=-x²+bx+3中，易求e=b以及f=-33+6b，結合三角形面積公式，易得S=-3b²+18b，求關于b的二次函數(shù)的最大值即可；
（3）設M的坐標是（g，3），N的坐標是（6，h），根據(jù)圖乙知直線OF與BC的交點坐標（6，2），進而求直線OF的解析式是y=

1

3

x，而OF又是MN的中垂線，那么MN的中點就在直線OF上，于是可得g=3h+3①，g²+9=36+h²②，解關于g、h的二元二次方程組，易求g、h（負數(shù)舍去），進而可得M、N的坐標，再把M、N的坐標代入y=ax²+bx+3中，得到關于a、b的二元一次方程組，解可求a、b，進而可得二次函數(shù)解析式．

解答：解：（1）把（0，3）代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax²+bx+c中，得
c=3；

（2）若a=-1，且拋物線與矩形有且只有三個交點A、D、E，
則D、E分別在線段AB、BC上，或分別在AB、OC上，
若D、E分別在線段AB、BC上，
在y=-x²+bx+3中，令y=3，得x²-bx=0，解得：x=0或x=b，故D（b，3），
令x=6，得：y=6b-33，故E（6，6b-33），
∵0≤6b-33＜3，
∴

11

2

≤b＜6，
又∵AD=|b|=b，EB=|3-（6b-33）|=36-6b，
△ADE的面積S=

1

2

AD•BE=

1

2

b（36-6b）=-3b²+18b=-3（b-3）²+27，
則當b=

11

2

時，S有最大值

33

4

．
若D、E分別在AB、OC上，
△ADE的面積S=

1

2

AD•BE=

1

2

b•3=

3

2

b，
∵拋物線的對稱軸為：x=

b

2

，
當過點C時，拋物線為：y=-x²+

11

2

x+3，
∴0＜

b

2

≤

11

4

，
∴當b=

11

2

時，S有最大值

33

4

．


（3）當點M、N分別在AB、OC上時，過M作MG⊥OC于點G，連接OM，
∴MG=OA=3，∠2+∠MNO=90°，
∵OF垂直平分MN，
∴OM=ON，∠1+∠MNO=90°，
∴∠1=∠2，
∴tan∠1=

FC

OC

=

1

3

，tan∠2=tan∠1=

1

3

，
∴GN=

1

3

GM=1，設N（n，0），則G（n-1，0）
∴M（n-1，3）
∴AM=n-1，ON=n=OM，
在直角△AOM中，OM²=OA²+AM²，
∴n²=3²+（n-1）²，解得：n=5，
∴M（4，3），N（5，0），
把M、N代入二次函數(shù)的解析式得：

3=16a+4b+3 0=25a+5b+3

解得：

a=- 3 5 b= 12 5

，
則函數(shù)的解析式是：y=-

3

5

x²+

12

5

x+3；
如右圖，
當點M、N分別在AB、BC邊上時，
設M的坐標是（g，3），N的坐標是（6，h），
直線OF與BC交點的橫坐標是6，縱坐標是3-1=2，
把（6，2）代入函數(shù)y=kx中，得k=

1

3

，
故直線OF的解析式是y=

1

3

x，
∵OF垂直平分MN，
∴點（

6+g

2

，

3+h

2

）在直線y=

1

3

x上，OM=ON，
∴

1

3

•

6+g

2

=

3+h

2

，g²+9=36+h²，
即g=3h+3①，g²+9=36+h²，②
解關于①②的方程組，得

g= 21 4 h= 3 4

或

g=-6 h=-3

（負數(shù)不合題意，舍去），
把（

21

4

，3）、（6，

3

4

）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+3中，得

36a+6b+3= 3 4 441 16 a+ 21 4 b+3=3

，
解得

a=- 1 2 b= 21 8

．
故所求二次函數(shù)解析式是y=-

1

2

x²+

21

8

x+3．
則二次函數(shù)解析式是y=-

1

2

x²+

21

8

x+3或y=-

3

5

x²+

12

5

x+3．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關鍵是理解題意，并能畫出草圖，利用線段垂直平分線的性質、解方程組、兩點之間的距離公式來解決問題．