Question

（2013•靜安區(qū)二模）已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，AH=5，CD=4

5

，點E在⊙O上，射線AE與射線CD相交于點F，設(shè)AE=x，DF=y．
（1）求⊙O的半徑；
（2）如圖，當(dāng)點E在弧AD上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）如果EF=

3

2

，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，設(shè)⊙O的半徑OA=OD=r，根據(jù)垂徑定理得DH=

1

2

DC=2

5

，在Rt△OHD中利用勾股定理得到r²-（5-r）²=（2

5

）²，然后解方程即可得到圓的半徑；
（2）作OG⊥AE，垂足為G，根據(jù)垂徑定理得AG=

1

2

AE=

1

2

x且易得△AOG∽△AFH，則AG：AH=AO：AF，可解得AF=

45

x

，再在Rt△AHF中利用勾股定理得到FH=

AF2-AH2

=

5

x

81-x2

，然后利用DF=FH-DH即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，當(dāng)E與D重合時，x最大，則有0＜x≤3

5

；
（3）分類討論：當(dāng)點E在弧AD上時，由AF-AE=EF可解出x=6，再代入y與x的關(guān)系式中得到DF=

5

2

；當(dāng)點E在弧DB上時，由AE-AF=EF，可求得x=

15

2

，然后根據(jù)勾股定理計算出BE=

3 11

2

，再利用△AHF∽△AEB得到FH：BE=AH：AE，解得FH=

11

，所以DF=DH-FH=2

5

-

11

；當(dāng)點E在BC弧上時，同上得FH=

11

，然后利用DF=DH+FH計算即可．

解答：解：（1）連接OD，設(shè)⊙O的半徑OA=OD=r，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴DH=

1

2

DC=

1

2

×4

5

=2

5

，
在Rt△OHD中，∵OD²-OH²=DH²，OH²=（AH-OA）²=（5-r）²，
∴r²-（5-r）²=（2

5

）²，解得r=

9

2

，
∴⊙O的半徑為

9

2

；

（2）作OG⊥AE，垂足為G，如圖，
∴AG=

1

2

AE=

1

2

x，
∴△AOG∽△AFH，
∴AG：AH=AO：AF，即

1

2

x：5=

9

2

：AF，解得AF=

45

x

，
∴FH=

AF2-AH2

=

( 45 x )2-52

=

5

x

81-x2

，
∵DF=FH-DH，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

5

x

81-x2

-2

5

，
定義域為0＜x≤3

5

；

（3）當(dāng)點E在弧AD上時，如圖，∵AF-AE=EF，即

45

x

-x=

3

2

，
化為整式方程得2x²+3x-90=0，解得x₁=-

15

2

（舍去），x₂=6，
∴DF=y=

5

6

81-62

-2

5

=

5

2

；
當(dāng)點E在弧DB上時，如圖，∵AE-AF=EF，即x-

45

x

=

3

2

，
化為整式方程得2x²-3x-90=0，解得x₁=

15

2

，x₂=-6（舍去），
∵AB為直徑，
∴∠E=90°，
∴△AHF∽△AEB，BE=

AB2-AE2

=

3 11

2

，
∴FH：BE=AH：AE，即FH：

3 11

2

=5：

15

2

，解得FH=

11

∴DF=DH-FH=2

5

-

11

當(dāng)點E在BC弧上時，同上得FH=

11

，
∴DF=DH+FH=2

5

+

11

．
綜上，DF的長為

5

2

或2

5

-

11

或2

5

+

11

．

點評：本題考查了圓的綜合題：垂徑定理和圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明或幾何計算中常用到；利用三角形相似比或勾股定理進(jìn)行計算幾何是常用的方法．