Question

如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為（10，0）、（10，3）、（4，3）．點(diǎn)P從原點(diǎn)、點(diǎn)Q 從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿OA以每秒1個(gè)單位向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿BC、以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x等于多少時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形？
（3）四邊形OPQC能否成為等腰梯形？若成，求出x的值，若不成說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）因?yàn)镼沿BC運(yùn)動(dòng)，BC∥OA，所以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3，以每秒2個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，所以從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，運(yùn)動(dòng)了2x，故Q點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)為10-2x，即可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由A、B、C的坐標(biāo)分別為（10，0）、（10，3）、（4，3）．可得OC=

42-32

=5，BC=10-4=6，OA=10，又由當(dāng)點(diǎn)Q在BC上，且OP=CQ時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形，即可得方程：x=6-2x，解此方程即可求得答案；
（3）首先過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥OP于點(diǎn)F，由當(dāng)OP=CQ+OE+PF時(shí)，四邊形OPQC成為等腰梯形，即可得方程：x=4+（6-2x）+4，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵BC∥OA，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3，
∵以每秒2個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，所以從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，運(yùn)動(dòng)了2x，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)為10-2x，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（10-2x，3）；

（2）∵A、B、C的坐標(biāo)分別為（10，0）、（10，3）、（4，3）．
∴OC=

32+42

=5，BC=10-4=6，OA=10，
∵BC∥OA，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在BC上，且OP=CQ時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形，
∴x=6-2x，
解得x=2；
∴當(dāng)x等于2時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形；

（3）不能，
理由：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥OP于點(diǎn)F，

∵AO∥BC，
∴CE=QF，
當(dāng)OE=PF=4時(shí)，△OCE≌△PQF（SAS），
此時(shí)四邊形OPQC成為等腰梯形，
即OP=OE+CQ+PF，
∴x=4+（6-2x）+4，
解得x=

14

3

，
∵

14

3

×2=

28

3

＞6，
∴四邊形OPQC不能成為等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．