Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的兩點，若EF=BE+DF．
（1）求證：∠EAF=45°；
（2）作∠EFC的平分線FG交AE的延長線于G，連結(jié)CG，求證：CG=

2

DF．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）如圖，首先把△ABE繞A順時針旋轉(zhuǎn)到△ADM的位置，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證明△AEE≌△AADM，接著利用已知條件可以求出∠EAF=45°．
（2）作GN⊥DC的延長線于N，根據(jù)∠AFD=∠AFE，F(xiàn)G平分∠EFC求得∠AFG=90°，根據(jù)∠AFG=90°，∠EAF=45°，△AFG是等腰直角三角形得出AF=GF，進而證得△ADF≌△FNG得出FN=AD=DC；GN=DF從而求得CN=GN，得出△CGN是等腰直角三角形根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CG=

2

CN=

2

DF．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD；∠ADC=∠B=90°
∴將△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM，如圖1所示
∴△ABE≌△ADM
∴AM=AE；BE=DM；∠ADM=∠B=90°；∠DAM=∠BAE
∴∠ADM+∠ADC=180°
∴C、D、M在同一直線上
∴EF=DF+BE=DF+DM=MF，
在△AEF和△AMF中，

MF=EF AF=AF AM=AE

，
∴△AEF≌△AMF（SSS），
∴∠AFD=∠AFE，∠MAF=∠EAF
又∵∠MAF+∠EAF=（∠DAM+∠DAF）+∠EAF=（∠BAE+∠DAF）+∠EAF=90°
∴∠EAF=∠MAF=45°

（2）如圖2所示，作GN⊥DC的延長線于N，
∵∠AFD=∠AFE，F(xiàn)G平分∠EFC
∴∠EFG=∠CFG，
∴∠AFE+∠EFG=∠AFD+∠CFG=90°，
∴∠AFG=90°
又∠EAF=45°
∴△AFG是等腰直角三角形
∴AF=GF
∵∠FAD+∠AFD=90°
∴∠DAF=∠NFG，
∵∠ADF=∠GNF=90°
在△ADF和△FNG中，

AD=FN ∠DAF=∠NFG AF=FG

，
∴△ADF≌△FNG（SAS），
∴FN=AD=DC；GN=DF
∴CN=FN-CF=DC-CF=DF=GN
∴△CGN是等腰直角三角形
∴CG=

2

CN=

2

DF

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵．