Question

11．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向形外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB 的中點(diǎn)．DE與AB相交于G，若∠BAC=30°，下列結(jié)論?：EF⊥AC；?AD=AE；?AD=4AG；?△DBF≌△EFA中，正確的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDF=30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG，從而得到答案．

解答 解：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正確，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴HF=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB，AB=BD，
∴HF=$\frac{1}{2}$BD；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正確；
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∴AD≠AE，；
故②說法不正確；
∴AG=$\frac{1}{2}$AF，
∴AG=$\frac{1}{4}$AB，
∵AD=AB，
則AD=4AG，故③說法正確，
正確的有3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是需先根據(jù)已知條件先判斷出一對(duì)全等三角形，然后按排除法來進(jìn)行選擇．