Question

已知：如圖，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A，且與雙曲線y=

m

x

交于點(diǎn)B（4，2）和點(diǎn)C（n，-4）． 
（1）求直線y=kx+b和雙曲線y=

m

x

的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出關(guān)于x的不等式kx+b＜

m

x

的解集；
（3）點(diǎn)D在直線y=kx+b上，設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t（t＞0）．過(guò)點(diǎn)D作平行于x軸的直線交雙曲線y=

m

x

于點(diǎn)E．若△ADE的面積為

7

2

，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的t的值．

Answer 1

分析：（1）先把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

m

x

求出m的值，故可得出反比例函數(shù)的解析式，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出n的值，用待定系數(shù)法求出直線y=kx+b的解析式即可；
（2）直接根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可求出x的取值范圍；
（3）由于DE的位置關(guān)系不能確定，故應(yīng)分點(diǎn)D在點(diǎn)E的右方與點(diǎn)D在點(diǎn)E的左方兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

m

x

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，2），
∴2=

m

4

，解得m=8．
∴雙曲線的解析式為y=

8

x

．
∵點(diǎn)C（n，-4）在雙曲線y=

8

x

上，
∴-4=

8

n

，n=-2．
∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，2），C（-2，-4），
則

2=4k+b -4=-2k+b

  解得

k=1 b=-2

∴直線的解析式為y=x-2．

（2）由函數(shù)圖象可知x＜-2或0＜x＜4直線y=x-2的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，故x＜-2或0＜x＜4；

（3）∵點(diǎn)D在直線y=x-2上，且點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t（t＞0），
∴D（t+2，t），
∵DE∥x軸，點(diǎn)E在雙曲線y=

8

x

上，
∴E（

8

t

，t），
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的右方，即如圖1所示時(shí)，
S_△ADE=

1

2

（t+2-

8

t

）•t=

7

2

，解得t=3或t=-5（舍去）；
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的左方，即如圖2所示時(shí)，
S_△ADE=

1

2

（

8

t

-t-2）•t=

7

2

，解得t=

2

-1或t=-1-

2

（舍去）；
故t=3或

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．