Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E、F分別在BC和CD上，且BE=DF=AB．小松同學(xué)在作題時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=2時，sin∠EAF=，當(dāng)n=3時，sin∠EAF=，當(dāng)n=4時，sin∠EAF=，當(dāng)n=5時，sin∠EAF=．
（1）當(dāng)BE=DF=AB時，sin∠EAF=______．
（2）證明你上面的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）將各三角函數(shù)值排列出來，將化為，
從而觀察可得出結(jié)論，當(dāng)BE=DF=AB時，sin∠EAF=．

（2）證明：設(shè)BE=1，則DF=1，CE=CF=n-1，

連接EF，作FM⊥AE于點M，
則S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，
=n²-×1×n-×1×n-×（n-1）²
=（n²-1）．
在Rt△AFM中，F(xiàn)M=AF•sin∠EAF，AE=AF=
∴S=（1+n²）sin∠EAF
∴（1+n²）sin∠EAF=（n²-1）
∴sin∠EAF=．
分析：（1）將將化為，根據(jù)分子及分母的特點可得出當(dāng)BE=DF=AB時，sin∠EAF的值．
（2）設(shè)BE=1，則DF=1，CE=CF=n-1，先根據(jù)S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF求出一個值，然后在Rt△AFM中在表示出一個值，兩者相等即可得出結(jié)論．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，屬于規(guī)律型，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察題目所給三角函數(shù)值的特點，從而得出結(jié)論，這樣題目就變得簡單化．