Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF=90°．求證：BF=AE．
（2）如圖2，正方形ABCD邊長為12，將正方形沿MN折疊，使點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)E處，且DE=5，求折痕MN的長．
（3）已知點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4．直接寫出下列兩題的答案：
①如圖3，矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成，則GH=

 

；
②如圖4，矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成，則GH=

 

．（用n的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EAB=∠FBC，然后利用“角邊角”證明△ABE和△BCF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）連接AE，過點(diǎn)N作NH⊥AD于H，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE⊥NM，然后求出∠DAE=∠MNH，再利用“角邊角”證明△ADE和△NHM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=MN，然后利用勾股定理列式求出AE，從而得解；
（3）過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥BC于N，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解即可．

解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°．
∵∠EOB=∠AOF=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，

∠EAB=∠FBC AB=BC ∠ABC=∠C=90°

，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（2）解：如圖2，連接AE，過點(diǎn)N作NH⊥AD于H，
由折疊的性質(zhì)得，AE⊥NM，
∴∠DAE+∠AMN=90°，
∠MNH+∠AMN=90°，
∴∠DAE=∠MNH，
在△ADE和△NHM中，

∠DAE=∠MNH AD=NH ∠MHN=∠D=90°

，
∴△ADE≌△NHM（ASA），
∴AE=MN，
∵DE=5，
∴由勾股定理得，AE=

122+52

=13，
∴MN=13；

（3）解：如圖3、4，過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥BC于N，
∵∠FOH=90°，
∴∠MFE=∠NAH，
又∵∠EMF=∠HNG=90°，
∴△EFM∽△HNG，
∴

GH

EF

=

GN

FM

，
圖3，GN=2FM，
∴GH=2EF=2×4=8，
圖4，GN=nFM，
∴GH=nEF=4n．
故答案為：8，4n．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變化的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)，（3）難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造成相似三角形．