Question

19．如果一個點(diǎn)與另外兩個點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個點(diǎn)為另外兩個點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，同樣，點(diǎn)D也是A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
（1）如圖①，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請在邊CD上作出A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外）．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）如圖②，矩形ABCD中，若AB=3，BC=1，點(diǎn)P在邊CD上（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外），且點(diǎn)P為A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，求DP的長．

Answer 1

分析 （1）作線段DC的垂直平分線，垂直平分線與DC的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；
（2）由∠APB=90°，可證明∠DAP=CPB，由∠D=∠C可知證明△DPA∽△BCP，由相似三角形的性質(zhì)可知$\frac{DP}{AD}=\frac{CB}{PC}$，設(shè)DP=x，則PC=3-x，則$\frac{x}{1}=\frac{1}{3-x}$，從而可解得x的值．

解答 解：（1）如圖所示：點(diǎn)E即為所求．

（2）如圖②所示：

∵△ABP為直角三角形，
∴∠APB=90°．
∴∠DPA+∠CPB=90°．
∵∠DAP+APD=90°，
∴∠DAP=CPB．
又∵∠D=∠C，
∴△DPA∽△BCP．
∴$\frac{DP}{AD}=\frac{CB}{PC}$．
設(shè)DP=x，則PC=3-x，則$\frac{x}{1}=\frac{1}{3-x}$．
解得：x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$．
∴DP=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是作圖應(yīng)用與設(shè)計、相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．